MATEMATIKA


MARTIN GARDNER


Piet Hein szuperellipszise



There is Van egy one art, mûvész, no more, nem több, no less: s kevesb: to do útja all things nem tûr with art- mûvélessness. szetet. Piet Hein

A civilizált embert házon belül és kívül, mindenfelől körülveszi a tárgyak megformálásának két ősi módja, a derékszögû és a kerek formák közt meghúzódó, ritkán felismert ellentét. Kör alakú kerekeken guruló autók közlekednek, melyeket kör alakú kormánykerekeket markoló kezek irányítanak, olyan utcákon, melyek egy téglalapháló egyeneseihez hasonlóan keresztezik egymást. Épületeink és lakóházaink többnyire derékszögekből épülnek fel, ezt teszi változatosabbá időnként egy-egy kerek kupola vagy ablak. Téglalap vagy kör alakú asztalnál, téglalap alakú szalvétával ölünkben, kerek tányérokról eszünk, és olyan poharakból iszunk, melyek keresztmetszete kör. Henger alakú cigarettákra gyújtunk rá olyan gyufákkal, melyeket tégla alakú dobozból szedünk ki, és a téglalap alakú számlát téglalap alakú bankjegyekkel és kerek érmékkel fizetjük ki.

Még játékaink is a derékszögût és a kereket ötvözik. A legtöbb szabadtéri sportot gömbölyû labdával játsszák, téglalap alakú pályán. A teremjátékok - a biliárdtól a dámajátékig - is hasonló kombinációi a kereknek és derékszögûnek. Téglalap alakú kártyalapokat tartunk a kezünkben kerek, legyezőszerû elrendezésben. Ennek a téglalap alakú könyvoldalnak minden egyes betûje derékszögû darabokból és kerek ívekből áll össze. Akárhová nézünk, négyzetek és körök tömegét látjuk, vagy megnyújtott, affin képüket: téglalapokat és ellipsziseket (bizonyos értelemben az ellipszis általánosabb, mint a kör, mert minden kör ellipszis alakúnak látszik, ha nem pont felülről nézzük). Az op-art festményeken és textilmintákon éppoly hevesen esnek egymásnak a négyzetek, körök, téglalapok és ellipszisek, mint a hétköznapi életben.

Piet Heindán író és feltaláló izgalmas kérdést tett fel magának: melyik az a legegyszerûbb és legkellemesebb zárt görbe, amely jól egyesíti e két ellentétes irányzatot? Az eredetileg természettudós Piet Hein (mindig teljes nevén említik) egész Skandináviában és az angol nyelvterületeken is közismert rendkívül népszerû, elegáns, aforisztikus verseket tartalmazó köteteiről (melyeket a kritikusok Martialis epigrammáihoz hasonlítottak), és természet-, ill. társadalomtudományi írásairól. Anépszerûsítő matematikában leginkább a Hex játék, a Soma kocka és más figyelemreméltó játék és rejtvény feltalálójaként ismerik. Barátja volt Norbert Wienernek, aki utolsó könyvét, a „God and Golem, Inc."-et neki ajánlotta.

A kérdést egy bonyolult várostervezési probléma kapcsán tette fel magának Piet Hein, amely először 1959-ben Svédországban merült fel. Stockholmban már sok évvel korábban elhatározták, hogy lebontanak és újjáépítenek egy öreg házakkal és szûk utcákkal telezsúfolt körzetet a város szívében, és ez a hatalmas és költséges program a II. világháború után útjára indult. Két új széles főútvonal szelte át a városközpontot, észak-déli, ill. kelet-nyugati irányban. A kereszteződésüknél egy nagy téglalap alakú teret alakítottak ki (ma Sergel tér). A tér közepén egy ovális medence van szökőkúttal, melyet egy ovális tó vesz körül sok száz kisebb szökőkúttal. A napfény a tó átlátszó fenekén át szûrődik be egy föld alatti ovális önkiszolgáló étterembe, melyet pillérek és üzletek ovális gyûrûje vesz körül. Alatta még két ovális emelet szolgál az étteremnek, táncteremnek, ruhatáraknak és a konyhának.

A tér pontos alakjának megtervezésekor a svéd építészek váratlan akadályokba ütköztek. Az ellipszist elvetették, mert a túl éles kanyarok akadályozták volna a tér körüli folyamatos forgalmat, azonkívül nem is illeszkedett harmonikusan a téglalap alakú területre. Ezután nyolc egymáshoz csatlakozó körívvel próbálkoztak a várostervezők, de a körívek nem illeszkedtek szépen egymáshoz, a nyolc illesztési helyen csúnyán megtört a görbület. Ráadásul a tervek szerint különböző méretû ovális formákat kellett egymásba ágyazni, és a nyolc ívből álló alakzatok nem voltak tetszetősen egymásba ágyazhatóak.

Ezen a ponton fordult a tervezéssel megbízott építészcsoport Piet Heinhez tanácsért. Ez éppen az a fajta feladat volt, amely illett az ő egyszerre matematikai és mûvészi képzelőerejéhez, humorérzékéhez, kreatív gondolkodásához, váratlan ötleteihez. Tudna-e olyan alakzatot találni, amely kevésbé élesen görbül, mint az ellipszis, kellemesen saját magába ágyazható, és harmonikusan illeszkedik a téglalap alakú területre Stockholm szívében?

Ahhoz, hogy Piet Hein újszerû megoldását megértsük, először is tekintsük az ellipszist - mint ahogy ő is tette - egy általánosabb görbecsalád speciális esetének, ahol a görbék egyenlete derékszögû koordináta-rendszerben a következő: ahol a és b két különböző paraméter (tetszőleges konstansok), melyek a görbe két féltengelyének hosszát jelentik, n pedig egy tetszőleges pozitív valós szám. A függőleges zárójelek azt jelzik, hogy mindkét törtnek az abszolút értékét vesszük, vagyis nem vagyunk tekintettel az előjelükre. (A későbbiekben megadott képletek egy részénél hiányzik az abszolútértékjel, de ott is az abszolút értékkel dolgozunk.)

Amikor n = 2, akkor x-nek és y-nak azok a valós értékei, melyek kielégítik az egyenletet (modern kifejezéssel élve a „megoldáshalmaz"), egy olyan ellipszis pontjait határozzák meg, melynek középpontja a koordináta-rendszer origójában van. Ha n helyére 1 és 2 közötti számot írunk, akkor minél közelebb vagyunk az 1-hez, ovális alakzatunk annál hegyesebben kanyarodik (Piet Hein „szubellipszisek"-nek nevezi ezeket az alakzatokat). Amikor n= 1, akkor paralelogrammát kapunk. Ha nkisebb, mint 1, akkor konkáv görbék alkotják a négy oldalt, melyek görbülete annál nagyobb, minél közelebb van a 0-hoz. Ha ntart 0- hoz, akkor alakzatunk két egymást metsző szakasszá fajul.

Ha 2-nél nagyobb n-eket is megengedünk, akkor ovális alakzatunk „oldalai" egyre jobban kisimulnak, egyre jobban fog hasonlítani egy téglalaphoz - valójában a határgörbe egy téglalap, ha ntart a végtelenhez. Vajon melyik görbe nyújtja ezek közül a legkellemesebb látványt?

1. ábra. Koncentrikus szuperellipszisek
Piet Hein az n= 2 1/2 mellett döntött. Komputer segítségével kiszámolták 400pont koordinátáit 15 vagy még több tizedesjegy pontossággal, több különböző méretben megrajzolták a pontos görbét ugyanazzal a magasság-szélesség aránnyal (a Stockholm központjában levő üres tér arányainak megfelelően). Az alakzatok különösképpen kielégítőnek bizonyultak, sem túl kerekek, sem túl szögletesek nem voltak, kellemes keverékét nyújtották az ellipszis, ill. a téglalap bájának. Ráadásul ezek a görbék jól egymásba ágyazhatók, és mint az 1.és 2.ábrán látható, a koncentrikusan elhelyezkedő ovális alakzatok a harmónia és a párhuzamosság érzetét közvetítik. Piet Hein az összes olyan görbét, ahol a kitevő nagyobb 2-nél, „szuperellipszis"- nek nevezi. Stockholm azonnal elfogadta a 2 1/2 kitevőjû szuperellipszist új centrumának alapmotívumául. Ha egyszer a teljes centrum elkészül, bizonyára a Svédországba látogató turisták egyik legvonzóbb látnivalója lesz (a matematikusok számára biztosan!). A nagy szuperelliptikus medence máris olyasfajta szokatlan matematikai jellegzetességgel ruházza fel Stockholmot, mint St.Louisban a városkép meghatározó elemének számító, láncgörbe alakú hatalmas betonív.

2. ábra. A stockholmi föld alatti éttermek és a felettük levő medencék terve
Időközben Piet Hein szuperellipszise más lelkes felhasználóra is talált Bruno Mathsson, a jól ismert svéd bútortervező személyében, aki először különféle szuperelliptikus íróasztalokat tervezett, melyek számos helyen fellelhetők svéd üzletemberek irodáiban, és amelyeket azóta szuperelliptikus asztalok, székek és ágyak követtek. (Kinek van szüksége a sarkokra?) Dán, svéd, norvég és finn gyártók fordultak Piet Heinhez különböző derékszögû-kontra-kerek problémák megoldásáért, aki évekig dolgozott szuperelliptikus bútorokon, edényeken, tálcákon, lámpákon, evőeszközökön, textilmintákon és hasonlókon. Az asztalokban, székekben és ágyakban Piet Hein egy másik találmánya is testet öltött: szokatlanul kapcsolódó lábak, melyek igen könnyen szerelhetők fel ésle.

„A szuperellipszis éppolyan meggyőzően egységes, mint a kör, csak kevésbé magától értetődő, kevésbé banális" - írta cikkében Piet Hein a vezető dán formatervezési és alkalmazott mûvészeti folyóiratban. (A folyóirat e számának fehér borítóján mindössze egy egyszerû fekete vonallal megrajzolt szuperellipszis és a görbét előállító képlet szerepelt.)

4. ábra. Szuperkör és rokongörbék
„A szuperellipszis több mint egy új divathóbort - folytatja Piet Hein - kiszabadulás az egyszerûbb első és második hatványok, az egyenesek és a kúpszeletek kényszerzubbonyából." Megjegyezném, hogy a Piet Hein-féle szuperellipszis nem tévesztendő össze a felületes hasonlóságot mutató különféle krumpli alakú görbékkel, melyeket oly gyakran láthatunk, ilyen például sok tévékészülék képernyője. Ezek ritkán többek, mint különböző ívekből összeillesztett ovális alakzatok, nincs olyan egyszerû képletük, mely a görbe tetszetős egységességét garantálná.

Ha egy ellipszis tengelyei egyenlők, akkor az nyilván kör. Ha az x2 + y2 = 1 köregyenletben a 2 kitevőt nagyobb számmal helyettesítjük, akkor a kör átalakul egy olyan görbévé, amit Piet Hein „szuperkör"-nek nevez. 2 1/2-nél valódi „négyzetesített kör"-t kapunk, abban az értelemben, hogy mûvészien testesíti meg a középutat a két véglet között. Azxn+ yn = 1 általános egyenletû görbék változását mutatja a 4. ábra, ahogy n-et növeljük 0-tól végtelenig. Ha a görbéket egyenletesen megnyújtanánk valamelyik tengely mentén (egy affin leképezést hajtanánk végre), akkor olyan görbecsaládot kapnánk, melynek egy ellipszis, szubellipszisek és szuperellipszisek lennének a tagjai.

Ugyanígy megnövelhetjük a kitevőt a gömbök és ellipszoidok hasonló térbeli egyenleteiben, hogy - Piet Hein elnevezésével élve - „szupergömböket" és „szuperellipszoidokat" kapjunk. Ha a kitevő éppen 2 1/2, akkor a kapott testek olyan gömböknek, ill. ellipszoidoknak tekinthetők, melyek félútig jutottak el a kockává, vagy téglatestté válásban.

A három különböző tengellyel rendelkező valódi ellipszoid egyenlete ahol a, b és c különböző paraméterek, melyek a féltengelyek hosszát jelentik. Ha a három paraméter egyenlő, akkor a kapott alakzat gömb. Ha csak kettő egyenlő, akkor „forgási ellipszoid"-nak nevezett felület, melyet úgy kaphatunk, hogy egy ellipszist megforgatunk valamelyik tengelye körül. Ha a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg, akkor az eredmény egy hosszúkás gömbszerû alakzat - egyfajta tojás, melynek a forgástengelyre merőleges keresztmetszetei körök.

Ha elkészítjük egy ilyen hosszúkás gömb szilárd modelljét valamilyen egyenletes sûrûségû anyagból, akkor kiderül, hogy semmivel nem állítható könnyebben a csúcsára, mint egy tyúktojás, hacsak nem alkalmazzuk rá a rendszerint Kolumbusznak tulajdonított trükköt. Kolumbusz miután felfedezte Amerikát, azt gondolva, hogy Indiába jutott el és ezzel bizonyította, hogy a Föld gömbölyû, 1493-ban tért vissza Spanyolországba. Barcelonában egy díszebédet rendeztek a tiszteletére. Girolamo Benzoni Az Újvilág története (1565. Velence) címû mûvében így írja le a történetet (egy korai angol fordításból idézem):

„Kolumbusz sok spanyol nemes társaságában vett részt az ebéden... egyikük szólásra emelkedett: »Kristóf úr, ha ön nem jutott volna el Indiába, itt Spanyolországban akkor sem volnánk híján olyan embernek, aki megkísérelte volna ugyanazt, amit ön tett, hiszen a mi országunk bővelkedik nagy emberekben, akik egyaránt járatosak a kozmográfiában és az irodalomban. « Kolumbusz semmit nem válaszolt e szavakra, hanem hozatott magának egytojást, amit letett az asztalra, majd így szólt: 'Uraim, bármelyikükkel hajlandó vagyok fogadni, hogy nem tudja úgy a csúcsára állítani ezt a tojást, ahogy én, puszta kézzel, minden támaszték nélkül.' Mindnyájan megpróbálták, és senkinek nem sikerült a csúcsán megállítania. Miután a tojás körbement és visszajutott Kolumbusz kezébe, ő hozzátette az asztalhoz, és az megállt, mivel az ütéstől kissé behorpadt a csúcsa. Amitől is mindnyájan zavarba jöttek, mert megértették, hogy mit akart mondani: hogy miután valaki megtette, már mindenki tudja, hogy hogyan lehet megcsinálni."

Lehet, hogy a történet igaz, de egy gyanúsan hasonló eseményt ír le 15 évvel korábban Giorgio Vasari, nagy sikert aratott A legkiválóbb festők, szobrászok és építészek élete(1550. Firenze) címû könyvében. Az ifjú itáliai építész, Filippo Brunelleschi szokatlanul nagy és súlyos kupolát tervezett a firenzei katedrális, a Santa Maria del Fiore számára. A város tisztviselői látni szerették volna a modelljét, de ő visszautasította a kérést, „felajánlva inkább [...] hogy akárki is legyen az, aki egy sima márványlapon fel tud állítani egy tojást, az építhesse meg a kupolát, mivel ily módon mindenki bizonyíthatja képességeit. Így aztán fogtak egy tojást, és az összes mester igyekezett felállítani, de egyik sem találta meg a módját. Ezután Filippo, akit felszólítottak, hogy most állítsa fel ő, könnyedén felkapta a tojást, csúcsával hozzáütötte a márványlaphoz, és az megállt. A mesteremberek tiltakoztak, mondván, hogy ezt ők is meg tudták volna csinálni; mire Filippo nevetve azt válaszolta, hogy a kupolát is meg tudták volna építeni, ha látták volna a modelljét, vagy a tervét. Ezzel eldőlt, hogy őt kell megbízni a munka végrehajtásával."

3. ábra. Szupertojás fából, bármelyik csúcsára állítva stabil
A történetnek van még egy csattanója. Amikor végül elkészült a nagy kupola (sok-sok évvel később, de évtizedekkel Kolumbusz első útja előtt), az alakja éppen olyan volt, mint egy fél tojás, melyet a csúcsánál belapítottak.

Hogy mi köze van mindennek a szupertojásokhoz? Nos, Piet Hein (mellesleg ő hívta fel figyelmemet a Kolumbuszés Brunelleschi-féle történet forrására) felfedezte, hogy a 2 1/2-es kitevőjû szupertojás szilárd modellje - valójában bármilyenkitevőjû szupertojás, ha a szélességéhez képest nem túl magas - könnyedén megállítható a csúcsán, bármiféle gyanús trükk nélkül! És tényleg, pufók fa és ezüst szupertojások tucatjai állnak fegyelmezetten és megbízhatóan a csúcsukon Skandinávia-szerte.

Figyeljük meg a 3. ábrán látható, fából készült szupertojást, melynek kitevője 2 1/2, magasság-szélesség aránya pedig 4:3. Úgy látszik, mintha fel kellene dőlnie, de nem. A szupertojásnak ez a kísérteties stabilitása (mindkét csúcsán) a szuperelliptikus egyensúly szimbólumának is tekinthető a derékszögû és a kerek között, ami pedig jól jelképezi az egyes emberek szemléletmódjában megvalósuló egyensúlyt, mint például Piet Heinében, aki oly sikeresen találta meg a középutat a C. P. Snow-féle „két kultúra" között.

Függelék



Az |x/a|n + |y/b|n = 1 képlettel meghatározott síkgörbecsaládot elsőként Gabriel Lamé 19. századi francia fizikus ismerte fel és tanulmányozta, aki 1818- ban írt róluk. Francia nevük courbes de Lamé; németül Lamesche kurven. Agörbék algebraiak, ha n racionális, transzcendensek, ha nirracionális.

Ha n= 2/3 és a= b(4. ábra), a görbe egy asztroid. Ilyen görbét ír le egy kör kerületén levő pont, ahol a kör sugara a negyede vagy háromnegyede egy nagyobb kör sugarának, ha a kisebb kör belülről érintve azt végiggördül a nagyobb kör kerülete mentén. Solomon W. Golomb hívta fel a figyelmet arra, hogy ha n páratlan, és elhagyjuk az abszolútérték-jeleket a Lamé-görbék képletében, akkor olyan görbecsaládot kapunk, melynek az n=3 esethez tartozó nevezetes görbe is tagja. William Hogen azt írja, hogy ő is és más mérnökök is gyakran tervezik az országutak kanyarjainak ívét olyan alakúra, mint a 2,2-es kitevőjû Lamé-görbék. Azt mondja, hogy a harmincas években ezeket „2,2-es ellipszisek"-nek nevezték.

Ha valamilyen fizikai objektum megtervezéséhez használjuk a szuperellipsziseket (olyan Lamé-görbék, melyek kitevője nagyobb 2-nél), akkor persze a kitevő és az aés bparaméterek a körülményeknek és az igényeknek megfelelően változhatnak. A stockholmi városközpont esetében Piet Hein n= 2 1/2-es kitevőt, és olyan paramétereket használt, melyekre a/b = 6/5. Néhány évvel később Gerald Robinson torontói építész egy peterborough-i (Toronto egyik külvárosa) bevásárlóközpont parkolóházának megtervezése során alkalmazott szuperellipszist. A kívánatos hosszúság - szélesség arány a/b= 9/7 volt. Az arány ismeretében egy közvélemény-kutatás azt mutatta ki, hogy a megkérdezettek szerint az tûnt a legkellemesebb alakú szuperellipszisnek, melynek a kitevője kicsit nagyobb mint 2,7. Ennek alapján lett a kitevő e (hiszen e = 2,718...). Az,hogy Robinson az eszámot használta kitevőnek, írja Norman T. Grideman a Lamé-görbékről szóló ismeretterjesztő cikkében, azzal a következménnyel járt, hogy a görbe minden pontja a tengelyekkel való négy metszéspont kivételével transzcendens.

Az olvasók más érdekes paraméterekre is felhívták a figyelmet. J. D. Turner szerint jó középutat kapunk a két véglet, a kör és a négyzet (vagy a téglalap és az ellipszis) között, ha a kitevőt úgy választjuk meg, hogy a kapott alakzat területe pontosan középen legyen a két véglet között. D. C. Mandeville úgy találta, hogy a kör és a négyzet területének átlagához tartozó kitevő olyan közel van a p- hez, hogy felmerül a kérdés, hogy nem pont p-e? Sajnos nem. Norton Black egy komputer segítségével kiszámította, hogy a szóban forgó érték hajszálnyival nagyobb 3,17-nél. Turner egy olyan középutat is ajánlott az ellipszis és a téglalap között, ahol a kitevő alkalmas megválasztásával azt érjük el, hogy a görbe átmenjen annak a szakasznak a felezőpontján, ami a téglalap csúcsát köti össze a neki megfelelő ellipszisponttal.

Turner és Black egyaránt javasolta, hogy kombináljuk a szuperellipszist az esztétikailag kellemes „arany téglalappal", vagyis válasszuk az a/b arányt az aranymetszés arányának. Turner szavazatát a legtetszetősebb szuperellipszisre az az ovális görbe kapta, melynek paraméterei: a/b= aranymetszés, n= e. Michel L. Balinski és Philetus H. Holt III egy a New York Times1968. egyik decemberi számában (a napot nem jegyeztem meg) megjelent levelében egy n=2 1/2 kitevőjû arany szuperellipszist javasolt egy párizsi tárgyalóasztal legmegfelelőbb alakjául. Akkoriban a vietnami béketárgyalásokra készülve a tárgyalóasztaluk alakjáról vitatkoztak a diplomaták. Hanem sikerül egyetértésre jutni az asztalról, írta Blinski és Holt, akkor be kellene zárni a diplomatákat egy nagy, üreges szupertojás belsejébe, és azt addig rázni, míg „szuperelliptikus egyezség"- re nem jutnak.

A Sergel tér, vagy Sergel Torg, ahogy Svédországban nevezik és a Szuperellipszis Plaza az utcai szinten a szökőkutas medencével már megépült. A föld alatti Piet Hein-árkádsor az üzletekkel és az étteremmel szintén elkészült.

A szupertojás egy általánosabb, szuperellipszoidnak nevezhető testfajta speciális esete. A szuperellipszoid egyenlete:

Ha a= b= c,akkor a test egy szupergömb, melynek alakja a gömb és a kocka között változik a kitevő változtatásával. Ha a= b,akkor a test keresztmetszetei szuperkörök, egyenlete:

A kör alakú keresztmetszettel rendelkező szupertojások egyenlete:

Amikor a szuperellipszisről szóló cikket írtam, úgy gondoltam, hogy bármilyen szilárd anyagból készült szupertojás, melynek kitevője nagyobb, mint kettő és kisebb, mint végtelen, a csúcsára állítva egyensúlyi helyzetben lesz, feltéve, hogy a magassága arányaiban nem haladja meg túlságosan a szélességét. Egy olyan szilárd szupertojás, melynek végtelen nagy a kitevője, egy egyenes henger lenne, ami elvileg nyilván megállna az alapján, függetlenül attól, hogy a magassága hányszor nagyobb, mint a szélessége. De a végtelen alatt maradva, szemléletesen világosnak látszott, hogy minden kitevőhöz tartozik egy kritikus arány, amit átlépve instabillá válik a tojás. Valójában még a következő bizonyítást is közzé tettem arról, hogy tényleg ez a helyzet:

Ha egy tojás S súlypontja a tojás csúcspontjához tartozó simulógömb C középpontja alatt van, akkor a tojás egyensúlyban lesz. Azért lesz az egyensúly stabil, mert akárhogy billentjük ki a tojást, a súlypontja magasabbra kerül. Ha az S pont a C felett van, akkor a tojás instabil, mert alegkisebb billentés is alacsonyabbra viszi a súlypontot. Hogy mindez világos legyen, tekintsük először az 5. ábra bal szélén látható gömböt. A gömb belsejében az S és a C egybeesik, mindkettő megegyezik a gömb középpontjával. Bármilyen 2-nél nagyobb kitevőjû szupergömb esetén, ahogy ez balról a második rajzon látható, a C pont az S felett lesz, mert a szupergömb alja kevésbé görbül. Minél nagyobb a kitevő, annál kisebb az alap görbülete, és annál magasabban van a C pont.

Most tegyük fel, hogy a szupergömböt egyenletesen megnyújtjuk függőleges tengelye mentén, hogy forgási szuperellipszoidot, vagy ahogy Piet Hein nevezi, szupertojást kapjunk. A nyújtás során C süllyed, Semelkedik. Nyilván lennie kell egy olyan X pontnak, ahol C és S egybeesik. E kritikus pont elérése előtt - mint az balról a harmadik rajzon látható - a szupertojás stabil. Túl ezen a ponton a szupertojás instabil (jobb szélső rajz).

5. ábra. Az instabil szupertojásokra vonatkozó hamis bizonyítást szemléltető rajzok CC helyett C CG helyett S
C. E. Gremer nyugalmazott tengerészeti parancsnok volt sok más olvasót megelőzve az első, aki tudatta velem, hogy a bizonyítás hibás. A szemléletes kép ellenére a csúcsponthoz tartozó simulógömb középpontja bármilyen szupertojás esetén végtelen magasan van! Ha növeljük is a szupertojás magasságát, miközben a szélességét megtartjuk, a csúcspontban a görbület „lapos" marad. A német matematikusok úgy is hívják ezt a pontot, hogy flachpunkt. A szuperellipszis két csúcspontja is hasonló flachpunkt. Más szavakkal, elvileg minden szupertojás stabil, függetlenül a magasság-szélesség arányától! Ahogy persze egy szupertojás egyre magasabbá és vékonyabbá válik, van egy kritikus arány, ahol a feldöntéséhez szükséges kibillentés mértéke olyan közel kerül a nullához, hogy olyan tényezők, mint az anyag egyenetlenségei, a felület hibái, rezgések, légáramlatok stb., gyakorlatilag instabillá teszik. De ideális esetet feltételezve, matematikai értelemben nincs kritikus magasság-szélesség arány. Piet Hein megfogalmazása szerint elvileg akárhány szupertojást, melyek szélessége egy hüvelyk, magassága pedig akkora, mint az Empire State Building, egymás tetejére állítva kiegyensúlyozhatunk, nem fognak ledőlni. Annak kiszámítása, hogy egy adott szupertojás pontosan mekkora „dőlési szög" esetén nem fogja már visszanyerni az egyensúlyát, bonyolult differenciálszámítási feladat, de számos olvasó megbirkózott vele.

Ha már tojások kiegyensúlyozásáról beszélünk, az olvasók talán nem tudják, hogy sima felületen szinte minden tyúktojás megállítható a laposabb csúcsán, csak türelem és biztos kéz kell hozzá. Azsemmit nem használ, ha először a tojás rázásával megpróbáljuk kipukkasztani a sárgáját. Izgalmasabb és bûvésztrükként is bemutatható a következő eljárás, mellyel a hegyesebb csúcsán is megállítható a tojás. Titokban szórjunk kevés sót az asztalra, ezen egyensúlyozzuk ki a tojást, aztán mielőtt odahívnánk a nézőket, óvatosan fújjuk el a felesleges szemcséket. A tojást megtartó néhány maradék szemcse nem látható, különösen ha a felület fehér. Valamilyen különös okból, tyúktojásoknak a laposabb csúcson való kiegyensúlyozása Kínában egyfajta népőrületté vált 1945-ben - legalábbis a Life1945. április 9-én megjelent képes beszámolója szerint.

A világ legnagyobb, acélból és alumíniumból készült szupertojását, amely majdnem egy tonna súlyú, Glasgowban, a Kelvin Hall mellett állították fel 1971 októberében, Piet Hein látogatásának tiszteletére, aki egy a modern lakásokról rendezett kiállításon mondott beszédet. A szuperellipszis kétszer is feltûnt dán postabélyegeken: 1970-ben a Bertel Thorvaldsen tiszteletére kiadott kék kétkoronáson, és 1972-ben egy karácsonyi pecséten, mely a királynőt és férjét ábrázolta.

Különféle méretû és anyagú szupertojások világszerte kaphatók, szokatlanabb ajándéktárgyak eladására szakosodott üzletekben. Kisméretû, tömör acéltojásokat árulnak, „üzletemberek játéka" néven. A legjobb mutatvány, amire alkalmasak az, hogy megállítjuk az egyiket a csúcsán, majd egy gyengéd lökéssel megpróbáljuk elérni, hogy egy vagy két, vagy több bukfencet vessen, mielőtt ismét megállna valamelyik csúcsán. Üreges, speciális folyadékkal töltött szupertojásokat árulnak, melyek jégkocka helyett használhatók italok lehûtésére. Nagyobb méretû szupertojásokat terveznek cigarettatartónak. Drágább, pusztán dísztárgyként használható szupertojásokat is gyártanak. Arra vonatkozó felvilágosításért, hogy miként lehet akár szupertojáshoz, akár szuperellipszis alakúra tervezett bútorokhoz, edényekhez, lámpákhoz és más termékekhez hozzájutni, az olvasók évekig bombázták leveleikkel a Piet Hein Information Centert (Finsenvej 33, 2000Copenhagen F, Dánia).

Fordította: TÖRÖK JUDIT