* Kérdés, észrevétel  y Vissza   ? 2002.10.20.

A gyakorlat témája: Összetett görbék kezelése, ívhossz- és területszámítás.

A gyakorlat folyamán kiszámítjuk és ábrázoljuk egy parabolaívből és egy nyeregtetőből összetett lefedésű épület véghomlokzatának az alábbi ábrán vastag lila vonallal feltüntetett kontúrvonalát, továbbá meghatározzuk a végfal és a tető csatlakozási vonalának ívhosszát valamint a végfal területét. (Ezekre az adatokra pl. az épület kitűzéséhez, ill. a költségvetésben a szegély-bádogozás és a vakolat mennyiségének kiírásához van szükség.)

A megoldás alapgondolata: a tető és a végfal csatlakozási görbéjét (és ezzel összhangban magát a végfalat is) kis részekre, szakaszokra osztjuk, az egyes szakaszokon a görbét a megfelelő húrral helyettesítjük, és mind a görbe felrajzolását, mind pedig a terület és ívhossz kiszámításását ezen közelítés alapján végezzük el.

Az ábra mutatja a bekótázott véghomlokzatot, és feltünteti a parabola és a nyeregtető-idom matematikai egyenletét. A keresett felső kontúrgörbe magassági koordinátáját esetünkben úgy kapjuk meg, hogy az ugyanazon x értékhez tartozó y_p parabola, ill. y_ny nyeregtető magassági koordináták közül mindig a nagyobbat vesszük.

Az ábra jobb felén jeleztük a felosztást is. Az L=8.0 m-es fél fesztávolságot kiindulásul 10 egyenlő részre osztottuk, így egy-egy osztásköz 0.8 m-re adódott. A görbe felrajzolása úgy történik, hogy x irányban végighaladunk -L-től +L-ig a teljes fesztávolság mentén, és az L/10 egységeknél kiszámítjuk a magassági koordinátákat. Ezek alapján – mint látni fogjuk – már el tudjuk készíteni az ábrát, és ugyanezen koordináta-értékeknek a felhasználásával megoldható az ívhossz és a terület közelítő számítása is. Az ábrán vastag vonallal van körülkeretezve egy, szomszédos osztáspontok (az x_e és az x_k) közötti elemi szakasz, ahol már ki vannak számítva az y_e és az y_k magassági koordináták. Ha két szomszédos osztáspont között a görbét a megfelelő húrral közelítjük, akkor e húr dív hossza annak a derékszögű háromszögnek az átfogója lesz, amelynek(az ábrán szaggatott vonallal jelölt) vízszintes befogója a két x koordináta, függőleges befogója pedig a két y koordináta különbsége:

.

A végfalnak a vizsgált szakasz feletti elemi területsávját – ha a két szomszédos osztáspont között a görbét a megfelelő húrral közelítjük – egy trapéznak tekinthetjük, s így a szakaszhoz tartozó elemi területrész:

.

Ha ezeket az elemi területeket ill. ívhosszakat minden szakaszra vonatkozóan kiszámítjuk és valamennyi szakszra nézve összegezzük, akkor a teljes ívhossz ill. a teljes terület műszaki szempontból kielégítő pontosságú közelítését kapjuk.

 • Ívhossz- és területszámítás  

A szükséges számításokat a mellékelt táblázatban valósíthatjuk meg.

Először a bemenő paramétereket írjuk fel az ábrán látható módon, majd az értéket tartalmazó cellákat a Insert • Name > Define (Beszúrás • Név > Név megadása) parancs panelén nevezzük el (automatikusan a cella melletti szöveget ajánlja fel névnek a program, amit vagy elfogadunk, vagy módosíthatunk), illetve közvetlenül beírhatjuk az aktuális cellacímet kijelző mezőbe. Ezután e neveken hivatkozhatunk a bemenő paraméterekre.

Kezdetnek elég a kiinduló számértékeket elhelyezni az ábrán látható cellákba, a formázásokat későbbre hagyhatjuk.

A munka lényege a számítási oszlopok kitöltése. A B oszlopban el kell helyeznünk a csomópontok sorszámait –10-től +10-ig, egyesével. Írjuk be az első két adatot (-10-et és -9-et), majd jelöljük ki két cellát együtt, s a kijelölés jobb alsó sarkában látható fekete négyzetet "húzzuk le" a kívánt (10) értékig (AutoFill). Jelöljük ki a B9:B29 tartományt, és nevezzük el i-nek! A szakaszhatár pontok x koordinátái kerülnek a C oszlopba. Ezeket úgy számíthatjuk, hogy a sorszámmal megszorozzuk a Dx-et (=i*L/10), majd lemásoljuk, akár a Copy / Paste utasításpárral, akár az előbb látott AutoFill eszközzel. Jelöljük ki az C9:C29 tartományt, és nevezzük el x-nek. Az y_p y_ny és y_k oszlopokban csak a 9. sorba kell képleteket beírni, s e képletek egyszerűen a címoldali ábrán a szokásos matematikai alakban megadott képletek átírásai a táblázatkezelőkben alkalmazott formátumba:

Hasonlítsuk össze azzal, amikor nem definiálunk paraméterneveket:

x	=C$3/10*B9
yp	=H$3*(1-C9^2/C$3^2)+F$3
yny	=H$5*(1-ABS(C9/C$3)+F$5
yk	=MAX(D9:E9)

Láthatjuk, hogy az x független változó helyébe a C oszlop x értékét tartalmazó cellája kerül. Itt a sor számjele előtt nem állhat $, mivel olyan változóról van szó, amelyet minden sorban más-más értékkel kell figyelembe venni, amikor a képleteket majd levisszük az alsóbb sorokba. Az x hellyel nem változó konstans adatoknál viszont kötelező a $ legalábbis a sor számjele előtt (az oszlopra utaló betű előtt esetünkben mindegy, hogy teszünk-e $ jelet, vagy sem, mivel a képleteket csak saját oszlopukba másoljuk). Mindezt elkerülhetjük, ha elnevezzük a cellákat. Az ívhossz és a terület oszlopaiba szintén csak a 9. sor képleteit kell beírni, s e képletek is az előzőekben dív-re és dT-re a szokásos matematikai alakban megadott képletek "fordításai":

A képletek beírása során figyeljük meg, hogy a hatványozás jele a ^ jel, amely azonban bizonyos beállításoknál csak akkor jelenik meg, ha utána a hatványkitevőt (esetünkben ez 2) is beírtuk. A gyökvonásnak az SQRT() függvény felel meg. Ezt beírhatjuk a billentyűzetről, vagy megkereshetjük az Insert • Function (Beszúrás • Függvény) utasítással. Ez utóbbi különösen akkor hasznos, ha nem tudjuk valamely használni kívánt függvény pontos megnevezését az éppen használt (pl. magyar nyelvű) változatban, illetve nem tudjuk, milyen paramétereket kell megadni a függvény számára. A 9. sor kitöltése után a C9:H9 cellákat (a jobb alsó sarkuknál fogva) levihetjük a szükséges sorokba. Ügyeljünk arra hogy az G és H oszlopokban eggyel kevesebb elemi ívhossz és terület szerepelhet, mint ahány koordináta érték van a C:F oszlopokban, hiszen a közök száma mindig eggyel kisebb az azokat határoló pontokénál.

Az így üresen maradó G29 és H29 cellákban számoljuk ki az ívhossz és a terület közelítő értékét a részhosszak és területek összegeként. Klikkeljünk mondjuk a G29 cellába, majd "eszközsoron" (toolbar) középtájon található S (AutoSum) jelre, és befejezésül üssük le az Enter billentyűt, mire megjelenik a közelítő ívhossz, ugyanezt az H29-cel megismételve pedig a közelítő terület.

 • Ábrázolás (chart) elkészítése  

Kitűzött feladatunkból még adósak vagyunk a végfal ábrázolásával. Annak érdekében, hogy ne csak a véghomlokzat felső határgörbéje jelenjen meg az ábrán, hanem a teljes zárt kontúrvonal, egészítsük ki kézi billentyűzéssel az x és az y_k értékek oszlopait a következő oldali ábrán a lila keretben bemutatott három ponttal. Ezek rendre a jobboldali függőleges határvonal, az alapvonal, és a bal oldali függőleges oldalvonal megrajzolásához szükséges koordináták.

Magát az ábrát legegyszerűbben a Chart Wizard (Diagram Varázsló) eszközzel készíthetjük el. Mindenekelőtt célszerű kijelölni a diagrammal ábrázolni kívánt részt (az x, yp, yny, és yk (C:F) oszlopok 8-32 sorait). Ha ezután elindítjuk a Varázslót, első lépésben ki kell választanunk, milyen jellegű ábrát akarunk. A koordinátáikkal megadott alakzatok kirajzoltatására az XY Scatter (Pont (XY)) típus a legalkalmasabb, tehát jelöljuk ki a listából ezt, és a megjelenő minták közül válasszuk a jobb alsót, a sima egyenesszakaszokkal való ábrázolást.

A Next (Tovább) gombra megjelenő lapon azokat a számsorozatokat adhatjuk meg, amelyeket ábrázolni akarunk. Mivel mi ezt előre megadtuk, azonnal továbbléphetünk.

Megválaszthatjuk még, hogy az ábra egy új lapra, vagy eredeti táblázatunkba kerüljön, majd Finish (Kész). Ha az ábrát objektumként szúrtuk be, az egérrel skálázhatjuk mozgathatjuk, akár a táblázatok fölé is vihetjük, ez a táblázatok működését semmiben nem zavarja.

Fontos, hogy az egyszer létrehozott diagram továbbra is "élő" kapcsolatban marad az eredeti adatokkal, így az adatok esetleges változását azonnal megjeleníti. Ennek szemléltetésére legjobb, ha a bemenő adatokon változtatunk: pl. h1ny értékét vegyük 8-ra, h2ny-ét pedig -6-ra. (Ez arra is példa, hogy ugyanaz a táblázat és diagram többféle típusú alakzat megjelenítésére is alkalmas.)

A formázásra sokféle lehetőségünk van. Ha (a kerületére kattintva) kiválasztunk egy diagramot, a főmenüben megjelenik a Chart (Diagram) menü, mely lehetőségeket ad a diagram átszerkesztésére. Meglévő ábra egyes elemeire, pl egy diagramvonalra duplán kattintva, azt külön is formázhatjuk. Mindezen lehetőségek részletes és teljes leírása nemcsak igen terjedelmes lenne, hanem értelmetlen is, hiszen e tárgy egyik célja épp a programok kezeléséhez szükséges "informatikai kultúra" megszerzése: kísérletezzenek tehát, és alakítsák kedvükre az elkészített ábrát!