Kérdés, észrevétel  |  Vissza   

A gyakorlat témája: Ábrázoljuk az alábbi képlettel leírható harmadfokú függvényt, és egy 0,0 origójú félkört, melyek érintik egymást. A képlet:

A félkör sugarát növelve egyszercsak "hozzáér" a függvényhez, egészen pontosan a függvény azon pontjához, amely a legközelebb esik az origóhoz. Ez a pont lesz az érintési pont, origótól való távolsága pedig a keresett félkör sugara. Meg kell tehát keressük a harmadfokú függvény origóhoz legközelebb eső pontját!

Írjuk fel a függvény egy általános pontjának távolságát az origótól:

Ezzel egy újabb függvényt kaptunk, ahol y a fenti harmadfokú függvényünk. Ennek az új függvénynek a minimumértéke lesz az érintő kör sugara.

Egy folytonos függvény helyi szélsőértéke (minimuma vagy maximuma) olyan pontban lehet, amelyben a differenciálhányados zérus, vagy nem létezik (például végtelenné válik).

Geometriai értelemben a függvény szélsőértéke ott van, ahol a függvény meredeksége (az adott pontban rajzolt érintőjének meredeksége) zérus, illetve azon két pont között, ahol a meredekség előjelet vált.

 1. A harmadfokú görbe  

1.1 Előkészítés, paraméterek megadása:
a görbe paraméterei b (fél szélesség) és h (magasság) definiálása

Nevezzük el a C2 cellát b-nek (ezentúl így hivatkozunk rá),

majd nevezzük el a C3 cellát h-nak!

1.2 Értelmezési tartomány (x) értékeinek számítása:
a -b és +b közötti távolság felosztása 2n (n=10) részre.

• Hozzunk létre egy számsort -10-től +10-ig az A oszlopban!
• Nevezzük el az A oszlopot i-nek!
• A B oszlopot kihagyva** a C oszlopba, a számsor első eleme (-10) mellé írjuk be az képletet!
  (**A kör felrajzolásánál szükségünk lesz a B oszlopra!)
• Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az [F2] billentyű segítségével!
• Másoljuk le a képletet minden i mellé!
• Nevezzük el a C oszlopot x-nek!

1.3 Értékkészlet (y) számítása:

• A D oszlopba, x első eleme mellé írjuk be a
  képletet!
• Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az [F2] billentyű segítségével!
• Másoljuk le a képletet minden x mellé!
• Nevezzük el a D oszlopot y-nak!

 2. A kör  

A harmadfokú görbénél x szerint írtuk fel az y értékeket egyenletes dx mellett. A kört b szerint írjuk fel, azaz b értékeit kell előállítani 0-tól p radiánig.

A kör paraméteres egyenletrendszere (ha a kör középpontja [0,0]):
, ahol
Az ábrán látható félkör értelmezési tartománya:

2.1 Előkészítés, paraméter(ek) megadása:
a körnek csak egy paramétere van, a sugara.

Mivel az r név az angol Excelben a sort jelenti (s így nem használható névként), nevezzük a sugarat rr-nek, (ezentúl így hivatkozunk rá). Kezdeti értéknek írjunk a cellába 4-et!

2.2 Értelmezési tartomány értékeinek (b) számítása:
a 0 és p közötti távolság felosztása 2n (20) részre

Az osztáspontok sorszáma 0-tól megy 20-ig azaz 0 <= i <= 20. Az adott sorszámú b értékét a képlettel kapjuk meg.

• Hozzunk létre egy számsort 0-tól 20-ig az A oszlopban!
• Az A oszlopot már elneveztük i-nek, igy ez a lépés most kimarad!
• A B oszlopba kerülnek b értékei, a számsor első eleme (-10) mellé írjuk be az képletet!
• Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az [F2] billentyű segítségével!
• Másoljuk le a képletet minden i mellé!
• Nevezzük el a B oszlopot beta-nak!

2.3 Értékkészlet (x,y) számítása:
a kör x és y értékei b függvényében

• A C oszlopba, b első eleme mellé írjuk be az képletet!
• Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az [F2] billentyű segítségével!


• A D oszlopba, i első eleme mellé írjuk be az képletet!

• Ellenőrizzük a cellahivatkozásokat az [F2] billentyű segítségével!
• Végül másoljuk le x és y képleteit minden b mellé!
• (Mivel a C és D oszlopot már elneveztük x-nek, y-nak, ez a lépés most kimaradt!)

 3. A függvények ábrázolása  

1.1 Közös rajz készítése a két görbéről:
r = 4 értékkel nincs érintés

• Jelöljük ki a harmadfokú görbe x,y értékeinek tartományát!

• A Diagram varázslóval (Chart Wizard) készítsük el a diagramot! Válasszuk ki az XY(Scatter)típust és azon belül (Chart sub-type) a jobb alsót (Scatter with data points connected by lines without markers)!


• A Series ablakban az Add gomb megnyomásával adjunk újabb görbét a diagramhoz!

• Először adjuk meg az X értékekek (X Values) tartományát, majd az Y értékek tartományát (Y Values)!
• Végül nevezzük el a görbéket (Name:)!


• Adjuk meg, hogy a diagram ne új lapra kerüljön, hanem objektumként az aktuális lapra


• A görbére kattintva a Format Data Series menüpont Patterns lapján beállíthatjuk vonalvastagságot és vonalszínt, majd a tengelyekre kattintva a Format Axis menüpont Scale lapján megadhatjuk a tengely maximális és minimális értékét, valamint az osztásokat.

 4. Az érintő kör sugara 

4.1 A harmadfokú görbe pontjainak távolsága az origótól

írjuk fel az E oszlopba harmadfokú görbe első pontja mellé a pont távolságát az origótól a =GYÖK(x^2+y^2) (angolul SQRT) képlettel, majd másoljuk le a képletet egymás alá az összes pont mellé! Ellenőrizzük grafikusan a távolság függvényt (készítsünk ideiglenes diagramot a Diagram varázslóval): látható, hogy van szélsőérték!

4.2 A szélsőérték meghatározása:
a távolság függvény kiszámolt értékei közül a legkisebb kiválasztása

Írjuk be az rr cellába a =MIN(E9:E29) képletet!
(Pontosabb értéket a Solverrel, vagy egyedi Visual Basic modullal számíthatunk.)

 5. Szélsőérték meghatározása Solverrel 

A Solver az Excel alá telepíthető modul, mely iterációval határozza meg a szélsőértéket.

Amennyiben installálva és aktiválva van, a Solvert Tools • Solver menüponttal érhetjük el. Ha itt nem szerepel, próbáljuk aktiválni a Tools • Add-Ins… menüpont panelén – ha itt sem látható, nincs telepítve!

• Az rr cella közelében nevezzünk el egy cellát xe-nek,
• egy másikat ye-nek!
• xe értéke legyen 0!
• ye értéke legyen =h/4*(2+(1-ABS(xe)*2/b)^3+(1-ABS(xe)*2/b)). (Másoljuk le a fönti y képletét és javítsuk ki x-et xe-re.)
• Írjuk be az rr cellába az [xe,ye] pont távolságát az origótól a =SQRT(xe^2+ye^2) képlettel!
• A Tools • Solver menüponttal hívjuk be a Solver párbeszéd-ablakát!

Minimumértéket keresünk, ezért aktiváljuk az Equal To: sorában a Min rádiógombot!
A Set Target Cell mezőbe írjuk be az rr cellahivatkozást: e cella minimumértékét keressük.
A By Changing Cells: mezőbe írjuk az xe cellahivatkozást: e cella értékét fogja cserélgetni a Solver.
Végül nyomjuk meg a   Solve   gombot!

A keresett érték pontossága a Solver Options (Beállítások) dialógusablakban beállított paraméterektől függ. Most elfogadhatjuk az alapértékeket.

Ha sikeres a keresés, akkor a Solver Results párbeszédablak jelzi, hogy a Solver talált egy (lehetséges) megoldást, amelynél minden megszorítás és optimálási feltétel teljesült, és ekkor választhatunk, hogy megtartjuk a talált értéket (Keep Solver Solution), vagy visszatérhetünk az eredeti értékhez (Restore Original Values).
(Amennyiben a Solver nem talál a megszorításoknak és az optimálási feltételeknek teljesülő megoldást, a Solver could not find a feasible solution. üzenet jelenik meg)

Irodalom:

(c)2005. BME Építészeti Ábrázolás Tanszék